پل ارتباطی عدد پی و سیاه‌چاله‌ها؛ نظریه صدساله رامانوجان!

بسیاری از ما اولین بار با عدد π (پی) – که با عدد ۳.۱۴ و تعداد نامتناهی از ارقام اعشار گرد شده است – در مدرسه و هنگام یادگیری ارتباط محیط دایره با قطر آن مواجه شدیم. از آن زمان، قدرت محاسباتی به شدت پیشرفت کرده و ابررایانه‌های امروزی اکنون می‌توانند تریلیون‌ها رقم از این ثابت را تعیین کنند.

محققان در مرکز فیزیک انرژی بالا (CHEP)، در مؤسسه علوم هند (IISc)، اکنون نشان داده‌اند که برخی از فرمول‌های کاملاً ریاضی که یک قرن پیش برای محاسبه عدد پی ایجاد شده‌اند، ارتباط نزدیکی با فیزیک بنیادی امروزی دارند. این فرمول‌های قدیمی در مدل‌های نظری مورد استفاده برای مطالعه نفوذ، تلاطم، و جنبه‌های خاصی از سیاه‌چاله‌ها مجدداً ظاهر می‌شوند!

سیر تاریخی تا سال ۱۹۱۴

ردیابی این ارتباط به سال ۱۹۱۴ باز می‌گردد. درست قبل از ترک مدرسه به مقصد کمبریج، سرینیواسا رامانوجان، ریاضیدان مشهور هندی، مقاله‌ای منتشر کرد که ۱۷ فرمول برای محاسبه عدد پی معرفی می‌کرد. این فرمول‌ها فوق‌العاده کارآمد بودند و امکان محاسبه سریع‌تر پی را نسبت به روش‌های موجود در آن زمان فراهم می‌کردند. با وجود اینکه آنها تنها تعداد کمی عبارت ریاضی داشتند، اما همچنان ارقام اعشار صحیح زیادی از عدد پی را تولید می‌کردند. اما طی سال‌ها، آنها چنان اهمیتی یافتند که اکنون مبنای تکنیک‌های محاسباتی و ریاضی مدرن برای ارزیابی پی، از جمله روش‌های مورد استفاده در ابررایانه‌های امروزی، هستند.

آنیندا سینها، استاد CHEP و نویسنده ارشد این مطالعه جدید، می‌گوید:

دانشمندان با استفاده از الگوریتمی به نام الگوریتم چادنووسکی، عدد پی را تا ۲۰۰ تریلیون رقم محاسبه کرده‌اند. این الگوریتم‌ها در واقع بر اساس کار رامانوجان هستند.

یک پرسش عمیق‌تر: چرا این فرمول‌ها وجود دارند؟!

پرسشی که سینها و فایزان بات (نویسنده اول و دانشجوی سابق دکتری IISc) مطرح کردند این بود: چرا باید چنین فرمول‌های شگفت‌انگیزی اصلاً وجود داشته باشند؟ آنها در کار خود به دنبال یک پاسخ مبتنی بر فیزیک بودند. سینها می‌گوید:

ما می‌خواستیم ببینیم که آیا نقطه شروع فرمول‌های او به‌طور طبیعی در برخی از مباحث فیزیک جای می‌گیرد یا خیر.

او می‌افزاید:

به عبارت دیگر، آیا دنیای فیزیکی وجود دارد که ریاضیات رامانوجان به خودی خود در آن پدیدار شود؟

آنها دریافتند که فرمول‌های رامانوجان به‌طور طبیعی در یک دسته گسترده از نظریه‌ها به نام نظریه‌های میدان همدیس (conformal field theories)، به ویژه در نظریه‌های میدان همدیس لگاریتمی (logarithmic conformal field theories)، ظاهر می‌شوند. نظریه‌های میدان همدیس، سیستم‌هایی با تقارن ناوردایی مقیاس (scale invariance symmetry) را توصیف می‌کنند – اساساً سیستم‌هایی که مهم نیست چقدر عمیق بزرگنمایی کنید، مانند فراکتال‌ها، یکسان به نظر می‌رسند.

در یک زمینه فیزیکی، این تقارن را می‌توان در نقطه بحرانی آب مشاهده کرد؛ دما و فشار خاصی که در آن اشکال مایع و بخار آب از یکدیگر غیرقابل تشخیص می‌شوند. در این نقطه، آب تقارن ناوردایی مقیاس را نشان می‌دهد و خواص آن را می‌توان با استفاده از نظریه میدان همدیس توصیف کرد. رفتار بحرانی همچنین در نفوذ (نحوه پخش شدن مواد در یک محیط)، در آستانه تلاطم در سیالات و توصیفات خاصی از سیاه‌چاله‌ها مطرح می‌شود – پدیده‌هایی که می‌توانند توسط نظریه‌های میدان همدیس لگاریتمی توضیح داده شوند.

ریاضیات رامانوجان در فیزیک مجدداً پدیدار می‌شود!

محققان دریافتند که ساختار ریاضی زیربنای نقطه شروع فرمول‌های رامانوجان نیز در ریاضیات زیربنای این نظریه‌های میدان همدیس لگاریتمی ظاهر می‌شود. با استفاده از این ارتباط، آنها توانستند به‌طور کارآمد مقادیر خاصی را در این نظریه‌ها محاسبه کنند – مقادیری که به‌طور بالقوه می‌توانند به آنها در درک بهتر پدیده‌هایی مانند تلاطم یا نفوذ کمک کنند. این مشابه روشی است که رامانوجان از نقطه شروع فرمول‌هایش استفاده کرد و پی را به طور کارآمد استخراج نمود.

بات می‌گوید:

[در] هر بخش از ریاضیات زیبا، تقریباً همیشه یک سیستم فیزیکی پیدا می‌کنید که در واقع منعکس‌کننده آن ریاضیات است. انگیزه رامانوجان ممکن است بسیار ریاضی بوده باشد، اما بدون اطلاع او، او همچنین در حال مطالعه سیاه‌چاله‌ها، تلاطم، نفوذ و انواع چیزها بوده است.

این مطالعه نشان می‌دهد که فرمول‌های صدساله رامانوجان کاربردی پنهان در سریع‌تر و قابل حل‌تر کردن محاسبات فعلی فیزیک انرژی بالا دارند. با این حال، حتی بدون این کاربرد نیز، سینها و بات می‌گویند که آنها صرفاً شیفته زیبایی ریاضیات رامانوجان بودند. سینها می‌گوید:

ما به سادگی مجذوب این نکته شدیم که چگونه یک نابغه که در اوایل قرن بیستم در هند کار می‌کرد و تقریباً هیچ تماسی با فیزیک مدرن نداشت، ساختارهایی را پیش‌بینی کرده که اکنون برای درک ما از کیهان حیاتی هستند!

منبع: Scitechdaily